Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)
Видео на Дзен https://zen.yandex.ru/profile/editor/id/62319fc82f5f8d062c902f1a/publications Геометрия 9 класс Урок№21 - Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник Объекты окружающего нас мира на фото соответствуют разным многоугольникам, а форма у всех правильная. Мы изучим основные понятия и свойства таких многоугольников, научимся их доказывать и применять при решении задач, в том числе задач, предлагаемых в сборниках подготовки к ОГЭ. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Зная, что сумма всех углов такого n-угольника равна полупроизведению числа сторон на 180 градусов, можно получить формулу для вычисления угла αn правильного n-угольника, разделив общую сумму на число равных между собой углов: αn = (n - 2)/n ∙ 180° Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Пусть A1 A2 A3 … An – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов A3 и A2. Докажем, что отрезок OA1 равен OA2 равен OA3 и так далее равен OAn. Так как многоугольник правильный, то угол A2 равен углу A3, а значит, угол 1 равен углу 3. Отсюда следует, что треугольник OA2 A3 равнобедренный, и, следовательно, равны отрезки OA3 и OA2. Треугольники OA2 A3 и треугольник OA2 A1 равны по двум сторонам и углу между ними (A2 A3 = A1 A3, A2 O – общая сторона и угол 3 равен углу 4, следовательно, OA3 = OA1. Аналогично можно доказать, что OA4 = OA2, OA5 = OA3 и так далее. Таким образом, доказали, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром в точке О и радиусом OA1 является описанной около многоугольника. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Пусть A1 A2 A3 … An – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности. В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что равны треугольники OA2 A3, OA1 A2 … OA1 An. Поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны, то есть OH1 = OH2 = ⋯OHn. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом OH1 проходит через точки H1, H2, … Hn и касается сторон многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в данный правильный многоугольник. Докажем теперь единственность окружности. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом OH1 есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник. Тогда её центр O1 равноудален от сторон многоугольника, то есть точка O1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, то есть равен OH1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана. Так как в равнобедренных треугольниках OA2 A3, OA1 A2 … OA1 An проведенные высоты OH1, OH2, … OHn являются и медианами, то имеет место следствие 1: окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. При доказательстве теоремы о вписанной в правильный многоугольник окружности было установлено следствие 2: центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника. Докажем теперь единственность окружности. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, A1, A2, A3. Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A1 A2 A3 … An можно описать только одну окружность. Теорема доказана. Рассмотрим задание из открытого банка ОГЭ. ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол EAI. Ответ дайте в градусах. Найдем угол правильного девятиугольника, воспользовавшись выведенной формулой нахождения угла. 1) αn = (n - 2)/n ∙ 180° α9 = (9 - 2)/9 ∙ 180° = 140° Получаем, что угол правильного девятиугольника равен 140°. Рассмотрим выпуклый шестиугольник AEFGHI. В нем четыре угла F, G, H, I по 140°, а оставшиеся углы равны между собой в силу того, что девятиугольник правильный. Воспользуемся известной формулой для нахождения суммы углов выпуклого шестиугольника AEFGHI: 2) Sn = (n - 2) ∙ 180° S6 = (6 - 2) ∙ 180° = 720°. Получаем, что сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720°. Для нахождения искомого угла нужно найти половину разности 720° и четырех углов по 140°. 3) ∠EAI = (720° - 4 • 140°)/2 = 80° Ответ: 80°
